LÓGICA MATEMÁTICA

lógica matemática

Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo. La proposición es un elemento fundamental de la Lógica Matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.

Clases de preposiciones 

 Ejemplos.

•  a. México se encuentra en Europa.
•  b.15−6 = 9 
•  c. 2x −3 > 7
•  d. Los precios de los teléfonos celulares bajarán a fin de año.
•  e.Hola ¿cómo estás? 
•  f.¡Cómete esa fruta!  

Los enunciados a y b pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto, son proposiciones validas. El inciso c también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a la variable x en determinado momento. La proposición del inciso d también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara el año. Sin embargo, los enunciados e y f no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.  

TABLA DE VERDAD

Definición.- Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición.

Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

Ejemplo: Construcción de tablas de verdad.

La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica.

OPERADORES LÓGICOS

Negación 

Este operador cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera,     a es falsa; si a es una proposición falsa,     a es verdadera.

La negación se presenta con los términos gramaticales:

1.   no
2.   ni
3.   no es verdad que
4.   no es cierto que

Tabla de verdad de la negación

Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente pora,  es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad.

Tabla de verdad de la negación

Sea a una proposición, la negación de a, representada simbólicamente por      a, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad.

CONJUNCIÓN (^)

La conjunción se presenta con los términos gramaticales: “y”, “pero”, “más”, “también”, “sin embargo”, “además”,

Signos de puntuación como: la coma, el punto, y el punto y coma.

Tabla de verdad de la Conjunción



REGLA.- La conjunción será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero.

Ejemplo:

DISYUNCIÓN (V)

La Disyunción se presenta con el término gramatical «o».

Tabla de verdad de la Disyunción



REGLA.- La Disyunción será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

Ejemplo:

Si se tienen las proposiciones:

a: Tengo un libro de Trigonometría.

b: Tengo un libro de Álgebra.


La disyunción entre a y b es:

avb: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Álgebra.

CONDICIONAL

Viene a ser la combinación de dos proposiciones con “si… entonces”.


Se lee si p entonces q.


Tabla de verdad de la condicional 



REGLA.- Una proposición condicional es falsa cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Es verdadera en cualquiera de las otras formas

BICONDICIONAL

Es la unión de dos proposiciones por “si y sólo si”. Se lee a si y sólo si b.



Términos gramaticales: «a si y sólo

b», «a si y solamente b», «a implica b y b implica a»,

Tabla de verdad de la Bicondicional


REGLA.- Una proposición bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son verdaderos o sus dos componentes son falsos.

Ejemplo:



Las proposiciones se clasifican en:

• Simples o atómicas

• Compuestas o moleculares.

PROPOSICIÓN SIMPLE

Son aquellas que no poseen operador lógico. Es decir que no se pueden dividir en otras proposiciones.

Ejemplo:

a: Todo organismo viviente se adapta a su medio físico.

b: Si un número es divisible por 4 también lo es por 2

c: 5 – 3 = 4

PROPOSICIÓN COMPUESTA

Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por operadores lógicos

Ejemplos:

p: La niña María canta y su hermano Luistoca el piano.

q: Ecuador es un país Amazónico y latinoamericano.