RELACIÓN Y OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Relación y operaciones entre conjuntos

Cuantificadores

En matemáticas se pueden considerar tres tipos de expresiones: verdaderas, falsas y abiertas.

• 5 + 3 = 8 (Expresión verdaderas)
• 2 > 6 (Expresión Falsa) 
• 2x < 6 (Expresión Abierta)

Las expresiones abiertas pueden ser verdaderas o falsas, dependiendo de la sustitución de x. Para restringir o cuantificar la variable añadimos cuantificadores a estas expresiones, lo cual convierte en proposiciones y permitirán darle un valor de verdadero o falso.
Cuantificador Universal
Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀.

∀x, 2x+3x = 5x

Se lee “Para todo número x se cumple que 2x+3x=5x”.

Cuantificador Existencial

Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃.

∃x, 2x+2 = 4

Se lee “Existe al menos un número x, para el cual 2x+2=4”

SUBCONJUNTO

El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en B. Su Símbolo es ⊆

(A ⊆ B)

Se lee:

• A Subconjunto de B
• A esta contenido en B
• A esta incluido en B

SUBCONJUNTO

Ejemplo:

Considere los siguientes conjuntos:

A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 }

Podemos decir que:

C ⊆ A y C ⊆ B,

Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B

B ⊆ A

Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a A o que no todos lo elementos de B son elementos de A

CONJUNTOS IGUALES

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir A esta incluido en B y viceversa.

(A = B)⇔[(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)]

Ejemplo:

G = {x Є N / 3 < x < 10} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

H = {x Є Z / 4 ≤ x ≤ 9} = {4, 5, 6, 7, 8, 9}


entonces G = H

CONJUNTOS POTENCIA

Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. Su símbolo es P(A).

Cardinalidad del conjunto Potencia

Se denota como N(P(A)) y es igual a 2N(A).

Ejercicio de Conjunto Potencia
Dado A = {*, +, a}, Encontrar P(A)

P(A) = {∅, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a},{+, a}, A}.


Según este resultado las siguientes proposiciones son verdaderas:
ü{*, +} ⊂ A
ü{*, +} ∈P(A)
ü∅ ∈P(A)
ü



N(P(A)) = 23 = 8.

CONJUNTOS DISJUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos si y solo si, no tienen elementos en común.

Ejemplo :

CONJUNTOS INTERSECANTES

Dos conjuntos son INTERSECANTES si y sólo si, tienen al menos un elemento común.

OPERACIONES CON CONJUNTOS